Diário de Bordo-MH1M3 / 21-Jun: Aula 15 – A Matemática na Europa até o Renascimento / A Matemática do Renascimento ao Século XVII

A aula de hoje começa com a exibição de um vídeo documentário chamado “Arte & Magia” produzido pela TV Cultura. Esse documentário é dividido em vários capítulos, aquele que assistimos corresponde ao capítulo 6 que fala sobre o Número de Ouro. Clique no vídeo abaixo para assisti-lo:

Esse vídeo aborda muitos aspectos históricos sobre o número de ouro, também conhecido como a razão áurea e cujo valor vale φ = 1.618033…. Esse é um daqueles números notáveis que aparece na natureza e é interessante também porque está relacionado com a beleza estética e os artistas a utilizam muito quando produzem suas obras.

O vídeo também mostra que relação entre o número de ouro e a sequância de Fibonacci, o mais talentoso matemático da Europa na Idade Média e que levou os números indo –arábicos para a Europa. Ele é famoso por essa sequência que foi determinada a partir de suas experiências para descobrir como o número de casais de coelhos crescem a partir de um único casal. Quer saber qual é a relação entre o número de ouro e a sequência de Fibonacci, então, convido a assistir ao vídeo.

Retomando a aula sobre “A Matemática na Europa até o Renascimento”.

Matemática no Século XIV

O Século XIV é quando a Peste Negra assola a Europa, matando mais de um terço da sua população. Também nesse século acontece a maior parte da Guerra dos 100 anos (1337-1453) que provocou grandes mudanças políticas e econômicas no norte da Europa. Esses dois eventos, talvez, expliquem porque a Matemática pouco se desenvolveu nessa época e os principais matemáticos são:

• Nicole Oresme (1323-1382) – Normandia
  • foi o maior matemático do século XIV.
  • sua carreira foi do magistério ao bispado.
  • escreveu 5 trabalhos matemáticos e traduziu Aristóteles.
  • num dos seus opúsculos encontra-se o 1º uso conhecido de expoentes fracionários
  • antecipando a Geometria Analítica, localiza pontos através de coordenadas.
  • influenciou matemáticos renascentistas e Descartes
  • precursor do calculo infinitesimal obtendo a soma da série:

• Thomas Bradwardine (1290-1349)
  • foi o arcebisp de Canterbury
  • fez especualações sobre os conceitos básicos de contínuo e discreto, infinitamente grande e infinitamente pequeno
  • escreveu 4 opúsculos sobre aritmética e geometria.

O Século XV

Marca o início do Renascimento Europeu na arte e no saber. Os clássicos gregos entram no Ocidente a partir dos refugiados da Queda de Constantinopla (1453) para a Itália. Assim , os europeus passam a ter os originais dos clássicos e não somente as traduções.

Outro evento que marca esse século foi a invenção da imprensa de tipos móveis e o início da comercialização de livros que contribuem para a rápida disseminação do conhecimento. No final do século, a América será descoberta e logo os europeus fariam a circunavegação na Terra.

A atividade matemática concentram-se nas cidades italianas e nas cidades de Nuremberg, Viena e Praga e girou em torno da aritmética, álgebra e trigonometria. Estes são os principais matematicos do século XV:

• Nicholas Cusa (1401-1464) – nascido em Cuers, junto ao Rio Mosela
  • filho de pescador que chega a cardeal e governador de Roma (1448)
  • fez trabalhos na reforma do calendário
  • fez tentativas de quadrar o círculo e trissecionar o ângulo.

• Greg von Peurbach (1423-1463) – aluno de Nicholas Cusa
  • escreveu uma aritmética, alguns trabalhos de astronomia e corrigu uma tábua de senos.
  • iniciou uma tradução latina do Almagesto de Ptolomeu

• Johann Müller (1436-1476)– nasceu em Könisgsburg (“montanha do rei”)
  • conhecido com Regiomontanus.
  • terminou a tradução do Almagesto, iniciado por Peurbach.
  • traduziu do grego para o latim, trabalhos de Apolônio, Herão e Arquimedes.
  • Sua mais importantes obra – “De triangulis ommi modis” (1464), publicado em 1533: 1ª exposição européia sistemática da trigonometria plana e esférica, independente da Astronomia.

• Nicholas Chucket (1445-1488)– França
  • o mais brilhante matemático francês  do século XV.
  • dedicou-se a medicina em Lyon.
  • em 1484, escreveu uma aritmética – “Triparty em la science des nombres” e, publicada apenas no século XIX.
  • divide-se em 3 partes: cálculo com números racionais, cálculo com números irracionais e teoria das equações.
  • admitia expoentes inteiros, positivos e negativos e parte da álgebra era sincopada.
  • seu trabalho era demasidamente avançado para época.

• Lucca Paccioli (1445-1509)– de Sansepulcro na Itália
  • escreveu “Sümma” – Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita.
  • pretendia ser um sumário da aritmética, álgebra e da geometria da época.
  • Semelhante ao Liber Abaci, mas com uma notação superior.

A obra Sümma

• tem algoritmos para operações fundamentais e a extração da raiz quadrada.
• aritmética mercantil com vários problemas.
• aplicação da Regra da Falsa Posição.
• na àlgebra chega até as equações quadráticas.
• álgebra sincopada
• pouco interesse em geometria e usa álgebra na resolução de problemas geométricos
• devido a importância da álgebra teve um crescimento intenso na Itália
• em 1509, Paccioli publicou “De Divina proportione”  com ilustrações de Leonardo da Vinci que o fez no período em que recebeu lições de matemática de Paccioli.

O Método da Falsa Posição

• método empregado para resolver equações lineares a partir de uma estimativa – “chute inicial”
• inicialmente, escolhe-se um valor arbitrário para a incógnita x “(chamada de “aha”)
• a expressão calculada à esquerda com o valor de x, é comparado com o valor do lado direito.
• calculava-se um fator de correção para obter o valor correto para x, satisfazendo a expressão original.

A Matemática do Renascimento ao Século XVII: as aritméticas, o simbolismo algébrico, Tartaglia, Cardano e Viète, Dürer e Copérnico.

Estamos abrindo uma nova fase da História da matemática que vai do Renascimento ao Século XVII. Com o Renascimento há um crescente interesse pela Educação e a atividade comercial. Como imprensa do tipo móvel já havia sido inventada, aparecem muitos textos populares de aritmética. Antes do século XVII, já haviam mais de três centenas desses livros impressos na Europa. Haviam dois tipos de obras:

• escritas por intelectuais de formação clássica, em latim;
• escritas em vernáculos por professores práticos interessados em formar jovens para o comércio.

Aritmética de Treviso

• publicada em 1478 na cidade de Treviso, próxima a Veneza;
• primeiro livro de matemática impresso no mundo ocidental;
• aritmética amplamente comercial para explicar a escrita de números e efetuar cálculos, contendo aplicações envolvendo sociedades e escambo.
• inclue também questões recreativas

Outras Aritméticas

• 1484: escrita por Piero Borghi (17 edições);
• 1491: publicada por Filippo Calandri em Florença. Contém o 1º exemplo do processo de divisão e os primeiros problemas ilustrados.
• 1494: Sümma de Pacioli
• 1489: Aritmética de Widman (Leipzig na Alemanha)
• 1514: publicada por Jacob Köbel (1470-1533), 22 edições

• Adam Riese (1489-1559)
  • 1522: publica a mais influente das Aritméticas comercias alemães. A expressão “nach Adam Riese” significa cálculo correto.

• Cuthbert Tonstall (1474-1559)
  • 1552: publicou na Inglaterra o 1º trabalho dedicado inteiramente à Matemática;
  • foi baseado na Sümma de Pacioli e escrita em latim;
  • ocupou postos eclesiásticos e diplomáticos;
  • a 1ª edição impressa dos Elementos de Euclides (1533) escrita em grego é dedicado a Tonstall.

• Robert Recorde (1510-1558)– Inglaterra
  • o mais influente autor inglês de textos escolares do século XVI;
  • escrevia em inglês e tinham forma de diálogos entre um mestre e um estudante;
  • deixou 5 livros. O 1º era uma Aritmética (“The Ground of Arts” – 1542) com pelo menos 29 tiragens;
  • deu aulas de matemática em Oxford e Cambridge e foi médico de Eduardo VI e da rainha Maria;
  • passou os últimos dias numa prisão na Irlanda devido a uma contravenção;
  • escreveu um texto de Astronomia –  The Castle of Knowledge (1551) apresentando o sistema de Copérnico aos ingleses;
  • o texto de geometria – The Pathwaie to Knowledge (1551) é uma condensação dos Elementos.

Início do Simbolismo Algébrico

• Robert Record escreveu – The Whetstone of Witte (1557) e utiliza pela primeira vez o simbolo de igualdade “=”;
• Christoff Rudolff (1525) introduziu o símbolo de radical √ no livro de álgebra “Die Coss”.

• Michael Stifel (1486-1567) – Alemanha
  • maior algebrista alemão do século XVI;
  • era um monge, mas converteu-se reformador por Martinho Lutero;
  • 1544: obra mais conhecida “Arithmetica Integra”, dividida em 3 partes: números racionais, números irracionais e álgebra.
  • 1ª parte: salienta a vantagem de relacionar um PA a uma PG, antecipando os logarítmos;
  • 2ª parte: versão algébrica do livro X de Euclides;
  • 3ª parte: trata de equações, as raízes negativas são descartadas e usa os sinais “+” , “-” e √; representa incognitas por letras;
  • profetizou o fim do mundo para 3 de outubro de 1533, mas como não aconteceu teve de refugiar-se numa prisão para se salvar da população indignada.

Interpretações do Número 666

• Michael Stifel, provou por artmografia que o Papa Leão X seria a ‘besta” do apocalipse
• Napier prova que  o número 666 representa o Papa de Roma
• O Jesuíta Bongus conclui que 666 era Martinho Lutero
• Na 1ª Guerra Mundial, o 666 foi associado ao Cáiser Guilherme e, posteriormente, a Hitler.
• César Nero era traduzido em aramaico (língua em que foi escrito o Apocalipse) pelo número 666.

Equações Cúbicas e Quárticas

• descoberta a solução algébrica das equações cúbica e quártica por matemáticos italianos no século XVI
• 1515: Scipione del Ferro (1465-1526), professor de matemática da Universidade de Bolonha, resolve algebricamente a equação x³ + mx = n. Não chegou a publicar o resultado, mas revelou o segredo ao seu discípulo Antonio Fior
• 1535: Nicolo Fontana de Brescia (Tartaglia) anuncia ter descoberto a solução algébrica da equação cúbica: x³ + px² = n.
• Cardano consegue descobrir a chave da solução de Tartaglia e a publica em 1545 na sua obra “Ars Magna”. Ocorre então uma polêmica entre Cardano e Tartaglia.
• Em “Ars Magna”, Cardano também publica a solução algébrica da equação quártia geral.
• François Viete (Século XVI) e Descartes (1637)
• Euler (1750) e Lagrange (1780) falham ao tentar resolver a equação quíntica geral
• Niels Henrik Abel (1802-1829) prova que as equações gerais de grau 5 ou maior, não podem ser expressas por meio de radicais em termos dos coeficientes.
• 1858: Charles Hermit (1822-1901) deu uma solução para a equação quíntica por meio de funções elípticas.

• Girolamo Cardano (1501-1557) – nasce em Pávia
  • Filho ilegítimo de um jurista e com personalidade contraditória e arrebatada. Era médico e matemático
  • Preso, acusado de heresia, ao publicar o horóscopo de Cristo. Foi astrólogo do Papa, recebendo uma pensão por isso.
  • Morreu para contrariar uma previsão astrológica sobre a data de sua morte.
  • Escreveu sobre matemática, astronomia, física, medicina, etc. Escreve também um manual do jogador com questões interessantes sobre probabilidades.
  • Livro mais importante: “Ars Magna” em latim e dedicado exclusivamente à Álgebra
  • trabalha com raízes negativas e faz cálculo com números imaginários e tinha conhecimento das regras de sinais de Descartes
  • Cria um método para obter aproximadamente a raíz de uma equação de grau genérico

• Nicolo Fontana de Bréscia (Tartaglia) – (1499-1557) – nascido em Bréscia
  • Filhos de pais pobres e viu sua cidade natal ser tomada pelos franceses (1512) e, embora, ferido, sobreviveu. Ficou com um problema na fala que lhe valeu a alcunha de “o gago”, em italiano “Tartaglia”. Praticamente, foi um autodidata em Matemática.
  • descobriu soluções para equações cúbicas.
  • foi o 1º matemático a usar a matemática na ciência dos tiros de artilharia.
  • escreveu a melhor aritmética do século XVI (em dois volumes) e publicou edições de Euclides e Arquimedes.

• Françoise Viète (1540-1603) – Fontenay (França)
  • advogado e membro do parlamento provincial da Bretanha, dedica-se a maior parte do tempo à matemática.
  • dedica-se a criptografia e na Guerra contra a Espanha, quebra o código secreto espanhol.
  • trabalhou com trigonometria, álgebra e geometria.
  • 1579: publica “Canon mathematicus seu ad triangula” com contribuições na trigonometria. 1º livro na Europa ocidental a desenvolver métodos de resolução de triângulos planos e esféricos com o auxílio das 6 funções trigonométricas.
  • 1591: publica “In artem analytican isagoge” e promove o desenvolvimento do simbolismo algébrico. Introduz o uso das vogais para designar incógnitas e consoantes para as constantes.

Obs.: o costume de usar a últimas letras do alfabeto para incógnitas e as primeiras para constantes foi introduzido por Descartes (1637).

• introduz potências das variáveis, evitando símbolos diferentes: a², em vez de quadratum e a³ em vez de cubum.
• 1600: escreve “De numerosa potestatum resolution” que introduz o processo de aproximações sucessivas para determinar a raíz de uma equação. Embora trabalhoso, foi utilizado até por volta de 1680
• 1594: entra em uma polêmica com o astrônomo Clavius na discussão sobre a reforma do calendário promovida pelo Papa Gregório.

• Christopher Clavius (1537-1612) – Banberg (Alemanha)
  • escreveu textos de aritmética (1583) e álgebra (1608)
  • 1574: publica uma edição dos Elementos de Euclides
  • trabalhou com trigonometria e astronomia e na reforma do calendário.

• Simon Stevin (1548 – 1620)
  • na matemática fez contribuições sobre a teoria das frações decimais
  • na física fez contribuições à estática e a hidrostática
  • na engenharia militar, inventou um veículo movido a velas, capaz de transportar 28 pessoas ao longo de uma praia, mais rápido que o cavalo.

• Nicolau Copérnico (1473-1543) – Polônia
  • um dos astrônomos que mais impulsionou a matemática
  • estudou leis, medicina e astronomia
  • sua Teoria do Universo (1530) só foi publicado em 1543 quando morre com a ajuda e insistência do seu discípulo Joachin Rhaeticus.
  • devido ao seu trabalho, fez desenvolvimentos em trigonometria e escreveu um tratado sobre a matéria.

• Georg Joachim Rhaeticus (1514-1576)
  • discípulo de Copérnico e principal astrônomo matemático teutônico do século XVI
  • Construiu tábuas trigonométricas em uso até hoje
  • foi  o 1º a definir as funções trigonétricas com razões entre lados de um triângulo retângulo

Aqui encerramos o programa da disciplina e as próximas aulas serão destinadas às avaliações.