Um pouco de História das Bases Numéricas

“Enquanto o homem contar por dezenas, seus dedos vão lembrar-lhe a origem humana dessa fase muito importante de sua vida mental. Assim possa o sistema decimal permanecer como o monumento à proposição: o homem é a medida de todas as coisas”.

Tobias Dantzig

Houve um tempo na vida do homem que ele não sabia contar ! Mesmo nos dias de hoje podemos encontrar tribos primitivas, como o Botocudos no Brasil, Zulus e Pigmeus na África que sabem no máximo contar dessa forma: um, dois e … muitos !!

Aprendemos a contar quando criança coordenando ou associando dedos e certas palavras que mais tarde serão traduzidas e compreendidas como números. Dessa forma, vamos memorizando uma seqüência de números numa série ordenada.

Essa idéia de sucessão numérica parte do princípio que a partir do número “1”, obtemos o sucessor por acréscimo de uma unidade ao antecessor. Esse é o princípio da recorrência.

Base 10 (Decimal)

Talvez a primeira tecnologia desenvolvida pelo homem para auxiliar a contagem deva ter sido ele próprio, ou seja o instrumento para contar estava nas palmas das mãos ! Daí a razão pelo qual nosso sistema de numeração tenha como base o número dez, pois dez são quantos dedos temos nas mãos !

Quando dez é o valor da base, significa que para contar utilizamos uma técnica de agrupar as coisas de dez em dez e para isso precisamos definir uma nova tecnologia para contar porque a quantidade de dedos é limitada.

Sabemos pela história que muitos povos desenvolveram sistemas de numeração, como os romanos e egípcios que eram de base dez, mas eram muito difíceis de serem utilizados por serem trabalhosos para efetuar cálculos.

No entanto, todas as dificuldades foram superadas pelos hindus que criaram um sistema de numeração que tinha três grandes características:

• era de base dez ou decimal;
• era posicional;
• definiam o zero como número, isto é, um símbolo para o nada.

Nesse sistema as coisas ou objetos são agrupadas de 10 em 10.

• A quantidade de objetos que sobraram e não fazem parte de nenhum grupo será chamados de unidades.
• Separe os grupos que contém 10 objetos de 10 em 10 formando novos grupos. A quantidade dos grupos originais que não pertencerem aos novos grupos serão chamados de dezenas.
• Separe novamente os grupos formados anteriormente de 10 em 10 formando novos grupos. A quantidade de que não pertencerem aos novos grupos serão chamados de centenas. E assim sucessivamente.

Tome as quantidades representando as unidades, dezenas, centenas, milhares, etc, colocando lado a lado de forma que cada posição esteja na seguinte ordem:

….

<

número de milhares

>

<

número de centenas

>

<

número de dezenas

>

<

número de unidades

>

Portanto, dependendo a posição do número representa um múltiplo de uma certa quantidade, por isso o sistema é caracterizado como posicional. Por exemplo: O número 1567 representa a seguinte quantidade:

Ou poderíamos escrever a expressão em potências de base 10 da seguinte forma:

1 x 10³ + 5 x 10² + 6 x 10¹ + 7 x 10⁰ = 1567

Antes de aparecer o sistema de numeração desenvolvido pelos hindus, o princípio posicional já aparecia em outros sistemas de numeração, como o dos babilônios, por exemplo. Entretanto, foi na numeração hindu que ele ganhou força total. Mas isto só aconteceu graças à criação de um símbolo para o nada (zero).

Base 12 (Duodecimal)

Apesar da base 10 ser praticamente adotada universalmente houve na história outros sistemas de numeração que não decimais. Uma delas é a base 12 que tem grande influência na nossa cultura, pois o hábito de comprar em dúzias é uma herança desse sistema.

O número 12 foi tempos remotos cercado de muito mitos. Por exemplo:

• 12 resultava para os antigos povos do produto do número divino 3 e do número terreno 4;
• 12 foram as tribos de Israel;
• 12 são os signos do Zodíaco.

As vantagens desse sistema é que o número 12 tem mais divisores do que o 10. Enquanto que os divisores de 10 são 2 e 5, a base 12 tem os divisores 2, 3, 4 e 6.

Dessa maneira, um ano teria em meses um número igual a essa base, um dia teria em horas o dobro do valor da base, a hora teria em minutos, cinco vezes o valor da base, a medida do círculo seria trinta vezes o valor da base, etc.

Um fato interessante é a possibilidade de se contar de 1 a 12 usando os dedos de uma única mão: basta não considerar o polegar e considerar cada uma das 3 falanges (ou articulações) dos 4 dedos opostos da mesma mão.

Tendo cada dedo 3 falanges e não considerando o polegar teremos um total de 12 falanges. Alguns autores dizem que o sistema de base 12 foi adotado por alguns povos como um sistema secundário de contagem ao lado do decimal.

Os povos primitivos dividiram o dia e a noite em 12 partes, pois para eles dia e noite eram entidades antagônicas e chamaram cada uma destas 12 partes de hora. Logo, dia e noite somam 24 horas, duas vezes a base 12.

Como o tempo sendo contado de forma mais precisa o homem primitivo notava que certos eventos aconteciam entre uma hora e outra e sentiu necessidade de fracionar esse intervalo novamente.

Repetindo o processo, dividiu a hora pelo mesmo número da base, 12. Mesmo assim, a divisão se mostrou insuficiente e subdividiu a hora em 24 partes, duas vezes a base 12. Não sendo suficiente, subdividiu três, quatro e finalmente cinco vezes a base 12, ou 60 partes.

Observamos, portanto, que as parcelas de tempo foram diminuídas da hora, daí a origem do termo minuto – diminuída, diminuta, minuto.

Mesmo já consagrado o termo minuto o homem necessitou diminuir mais ainda esse intervalo e subdividiu o minuto novamente em 5 x 12 partes gerando uma segunda divisão, daí o termo segundo.

Base 60 (Sexagesimal)

Num sistema de base 60 teríamos de adotar um conjunto de 60 símbolos ou algarismos para escrever um número, isso é muito difícil para o homem memorizar e, consequentemente fazer cálculos.

É curioso, portanto, que povos importantes da história tenham adotado esse sistema como o sumérios e babilônios. No entanto, mesmo sem saber utilizamos de forma rotineira em nossas atividades.

Os vestígios desse legado cultural podem ser notados no hábito de exprimir o tempo em horas, minutos e segundos, na medida de ângulos em graus, minutos e segundos.

A razão dos sumérios utilizarem essa base é um mistério e muitos pesquisadores elaboraram algumas hipóteses. Formaleoni (1789) e Cantor (1880) formularam a hipótese de que o número de dias num ano, arredondado para 360, teria dado origem à divisão do círculo em 360^o e como a corda do sextante ( a sexta parte do círculo) é igual ao raio e possibilita dividir o círculo em seis partes iguais a 60^o, cujo valor deu origem a utilização do sistema em base 60.

Cada 1/360 do círculo representa um dia é chamado de grau que vem do termo latino gradue significa degrau.

Cada grau pode ser subdividido em 60 partes menores e essa primeira divisão foi denominada em latim, pars prima minuta (primeira parte menor), dando origem ao termo minuto. Uma segunda divisão é realizada, dividindo o minuto em 60 partes, que é denominada em latim de pars secunda minuta (segunda parte menor). Pelo fato de ter sido a segunda divisão originou o termo segundo.

O matemático Georges Ifrah aponta duas hipóteses prováveis para a adoção da base 60 pelos sumérios:

• conjunção de duas culturas diferentes, uma com hábito de contar por dúzias e outra por dezenas. A base decimal seria um sistema auxiliar que aliviava o esforço de memorizar os números sexagesimais, além disso, os matemáticos sumérios num estágio avançado de desenvolvimento teriam combinado as bases 10 e 12 através da propriedade do mínimo múltiplo comum que é 60;
• foi resultado de uma combinação “natural” da base 12 e da base 5.

Ifrah, destaca essa hipótese mais provável e mostra como possível prova traços do uso “natural” da base na língua suméria. Os nomes dos dez primeiros números em sumérios são:

Número	Denonimação em Sumério
1	gesh
2	min
3	esh
4	limmu
5	ià
6	àsh	= à + sh = ià + gesh = 5 + 1
7	imin	= i + min = ià + min = 5 + 2
8	ussu
9	illimmu	= i + limmu = ià + limmu = 5 + 4
10	u	quer dizer, literalmente, “os dedos”

Dessa maneira, comprova que para os números 6, 7 e 9, são formados por uma operação numérica da base 5. Quanto ao 8, Ifrah justifica que a palavra original se perdeu no tempo, à medida que a sociedade e cultura suméria evoluia.

Também é curioso observar que é possível contar em base 60 utilizando os dedos da mão utilizando as base 5 e 12 como apoios, da seguinte forma:

• na mão direita, conta-se de 1 a 12, desconsiderando o polegar e utilizando as 12 falanges dos 4 dedos;
• ao atingir 12 na mão direita, dobra-se o dedo mindinho esquerdo e volta a contar com as falanges da mão direita.;
• ao atingir 24 na mão direita, dobra-se o dedo anular esquerdo e volta a contar com as falanges da mão direita;
• ao atingir 36 na mão direita, dobra-se o dedo médio esquerdo e volta a contar com as falanges da mão direita;
• ao atingir 48 na mão direita, dobra-se o indicador esquerdo e volta a contar com as falanges da mão direita;
• ao atingir 60 na mão direita, todos os dedos da mão esquerda foram dobrados.
  

Base 2 (Binário)

O sistema de numeração de base é utilizado pelo computadores digitais. Leibniz (1646-1716), foi um dos primeiros defensores do sistema binário e propunha que todo pensamento racional se tornasse matemático e defendia uma espécie de linguagem ou escrita universal.

Para ele o número 1 representava Deus e o 0 (zero) corresponderia ao vazio. Dessa forma, tudo teve origem no 1 ou 0, logo com eles poderia expressar todas as idéias matemáticas.

Seus colegas contemporâneos ignoraram essas idéias e só foram retomadas no século XIX por George Boole que criou um sistema de lógica simbólica conhecido como Álgebra Booleana. Quase cem anos depois, o sistema binário e a álgebra desenvolvida por Boole tornou possível a criação do computador digital eletrônico.

Bibliografia:

ASIMOV, I. Antologia 1. Rio de Janeiro: Nova Fronteira. 1992

BARCO, L. 2 + 2 : A aventura de um matemático no mundo da comunicação. São Paulo: Thema Editorial. 1993.

BOYER, C.B. História da Matemática. 2^aEdição. São Paulo: Edgar Blücher. 1996

DONATO, H. História do Calendário. São Paulo: Melhoramentos . 1976.

IFRAH, G. Os números – A história de uma grande invenção. São Paulo: Globo. 1989.

IFRAH, G. História Universal dos Algarismos – Vol. 1. Rio de Janeiro: Nova Fronteira. 1997.

P.S.: Este artigo foi um trabalho desenvolvido quando fiz a disciplina “Tópicos de Matemática” no curso de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática (Unicsul – Universidade Cruzeiro de Sul), ministrado pela Profa. Marlene em Junho de 2005.