Criação de Videoaulas com o Open-Sankoré

Já faz um tempo que buscava uma maneira simples de criar videoaulas no computador e disponibilizar para os meus alunos na faculdade da maneira como o Salman Khan faz no seu Khan Academy .

Quando vi pela primeira vez as aulas criadas pelo Salman Khan na internet, me surpreendi pela simplicidade dos recursos utilizados por ele. Nada mais do que uma tela para escrever e um microfone para gravar as falas. Nada de softwares para geração de gráficos ou cálculos complicados. Gráficos eram feitos “à mão” mesmo, tortos e sem respeitar muito as escalas.

Portanto, pedagogicamente, não havia nada de excepcional na maneira como Salman Khan ensinava matemática e os outros assuntos. Seus vídeos dificilmente ultrapassavam 15 minutos de gravação. Como eram gravados não havia possibilidade de tirar dúvidas, mas, armazenados na internet, podia-se ver e ouvir quantas vezes quisesse.

Pois bem, as videoaulas foram um sucesso e correram o mundo inteiro. Khan ficou famoso, sua academia virou uma ONG e hoje está presente no Brasil através da Fundação Lemann. Não pretendo analisar ou criticar o método Salman Khan, fica para uma outra oportunidade, mas eu queria satisfazer uma curiosidade pessoal, ou seja, como criar uma videoaula com recursos computacionais simples e gratuitos?

Descobri, depois de uma pesquisa na internet, que Khan utiliza os seguintes recursos:

  • para simular a lousa eletrônica, o SmoothDraw que é gratuito;
  • para gravar e editar o vídeo, usa o Camtasia Studio que é pago;
  • para escrever na lousa eletrônica, ele usa uma mesa digitalizadora da Wacom.

O vídeo abaixo, temos o próprio Salman Khan apresentando o seu “estúdio de trabalho”.

Pois bem, adquiri uma mesa digitalizadora da Wacom (hoje está por volta de R$ 600,00) e testei esse kit utilizado por Salman Khan e, confesso que não gostei muito do SmoothDraw. Utilizei o Camtasia numa versão para teste por tempo limitado e gostei dele, mas acho que tem recursos demais para o pouco que é necessário para produzir o videoaula. A grande desvantagem é que ele é muito caro. Dá para utilizar softwares compatíveis gratuitos e sem grandes prejuízos na qualidade. A mesa digitalizadora é de fácil domínio e não tive problemas. Há outras opções de mesa digitalizadora mais baratas do que a da Wacom, por exemplo, da empresa Genius.

De tanto procurar uma alternativa para o SmoothDraw, acabei descobrindo o Open-Sankoré e ele tem uma história muito interessante.

O Open-Sankoré é um software livre para lousa eletrônica. Como consta no Wikipedia, foi originalmente desenvolvido na Universidade de Lausanne, Suiça, em 2003, para uso dos professores de lá. Depois passou para uma empresa de computação e, em seguida, comprado por uma Instituição pública francesa que a tornou um Projeto de Software Livre como uma estratégia de desenvolver a educação na África, com apoio da ONU (Organização das Nações Unidas). Veja a figura abaixo uma imagem da tela do Open-Sankoré.

TelaDoOpenSankore

Ele é multiplataforma, isto é, tem versões para Windows, Mac e Linux. Além de poder escrever, desenhar, o Open-Sankoré tem muitos recursos disponíveis que possibilitam a importação de animações em flash, imagens, vídeos, arquivos pdf e ppt. Agrega ainda pequenos aplicativos (apps ou widgets) como calculadores, mapa, applet do Google Maps, editor de HTML, navegador de internet, geradores de gráficos, compasso, etc. Isso é possível porque o projeto Open-Sankoré segue padrões mundiais de desenvolvimento de software, possibilitando a integração de uma série de programas. Além disso, como é um software livre de código aberto, pode receber contribuições de todo o mundo.

Há muita coisa para se falar sobre o Open-Sankoré, mas ainda estou descobrindo as imensas possibilidades para enriquecer o processo de ensino e aprendizagem, afinal, faz menos de uma semana que descobri essa ferramenta. Assim que possível vou apresentando mais informações e exemplos de como utilizar o Open-Sankoré nas aulas.

Para satisfazer a curiosidade de alguns, criei duas vídeoaulas utilizando o Open-Sankoré. O primeiro vídeo apresento de forma geral a tela inicial e as partes importantes. Nesse vídeo, utilizei o Camtasia Sudio 7 para gravação e edição.

No segundo vídeo, mostro um recurso do Open-Sankoré que possibilita a gravação de uma videoaula, ou seja, não há necessidade de um outro programa para gravação do vídeo, o próprio programa disponibiliza esse recurso chamado de “podcast”. Nessa videoaula resolvo uma questão do ENEM 2014. Quando termina a gravação, o Open-Sankoré gera um arquivo de vídeo no formato wmv (Windows Media Movie). A diferença no vídeo é que na opção “podcast” somente é gravado a área de trabalho onde são apresentados os textos sem os menus auxiliares.

Em ambos os casos é possível enviar os vídeos para uma conta no Youtube, possibilitando ser visto por qualquer pessoa com acesso à internet.

Gostei muito do Open-Sankoré, pois é bem simples e prático de ser utilizado. Podemos criar desde uma videoaula bem simples, à maneira de Salman Khan, ou rica de recursos tecnológicos.

Tenho certeza de vai ser uma ferramenta bem útil para o desenvolvimento das minhas aulas.

Por enquanto é só ! Caso tenham interesse, dúvidas ou curiosidade, entrem em contato.

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Livro: “O Poder do Hábito – Porque fazemos o que fazemos na vida e nos negócios”

Capa O poder do habito.inddTítulo: O Poder do Hábito – Por que fazemos o que fazemos na vida e nos negócios.
Autor: DUHIGG, Charles
ISBN: 9788539004119
Ano : 2012
408 páginas
715 gramas
Formato: 16×23 cm
Preço: R$ 39,90
Editora Objetiva

Falamos muito sobre os hábitos, nossos e, principalmente, dos outros. Estes hábitos estão relacionados com o nosso comportamento no dia a dia, alguns são conscientes e outros nem tanto. Às vezes, nem tomamos conhecimentos deles porque se incorporaram ao nosso viver e não percebemos.
O que este livro tem de interessante é que ele mostra que os hábitos tem o poder de transformar, seja a pessoa que somos até as grandes corporações multinacionais. O autor, Charles Duhigg, é repórter investigativo do New York Times.
No prólogo do livro, Duhigg, faz uma abordagem biológica para explicar que a fixação de um hábito está relacionado com um tecido neurológico conhecido como gânglio basal. Estes gânglios são essenciais para recordar padrões e agir com base neles e, assim, armazenam hábitos mesmo quando o cérebro adormece.

Processo desencadeado pelo hábito

Processo desencadeado pelo hábito

Os hábitos desencadeiam um processo no nosso cérebro, chamado de loop de hábito e se dá em três estágios. O primeiro é uma deixa, ou seja, um estímulo que desencadeia o processo que pode ser um estímulo visual (um doce, um comercial de TV), um lugar, uma certa hora do dia, uma emoção ou a companhia de certas pessoas.
O segundo estágio refere-se a rotina que pode ser física, mental ou emocional e o terceiro estágio que é a recompensa, uma compensação pelo que vale a pena memorizar, como uma comida, drogas, compensações emocionais etc.

Como o cérebro não sabe a diferença entre um hábito ruim ou bom, qualquer um deles fica lá dentro de nossas cabeças esperando uma deixa que promova aquele loop armazenado. Podemos criar novos hábitos e, portanto, substituir por outros. No livro, o autor nos mostra como isso acontece tanto na vida das pessoas quanto das empresas.

Depois de ler o livro, fiquei pensando se as dificuldades que a maioria das pessoas tem na matemática não estaria relacionado com o hábito ruim de estudo. Acredito que existam publicações ou artigos sobre a influência dos hábitos de estudos na formação dos alunos. Vou procurar saber mais sobre o assunto, se descobrir alguma coisa interessante publico aqui.

Fica aqui a minha recomendação para uma leitura prazerosa, interessante e instrutiva.

Para saber mais, reproduzo abaixo a sinopse do livro que pode ser encontrada no site da Editora Objetiva (http://www.objetiva.com.br/livro_ficha.php?id=1177).

Durante os últimos dois anos, uma jovem transformou quase todos os aspectos de sua vida. Parou de fumar, correu uma maratona e foi promovida. Em um laboratório, neurologistas descobriram que os padrões dentro do cérebro dela – ou seja, seus hábitos – foram modificados de maneira fundamental para que todas essas mudanças ocorressem. Há duas décadas pesquisando ao lado de psicólogos, sociólogos e publicitários, cientistas do cérebro começaram finalmente a entender como os hábitos funcionam – e, mais importante, como podem ser transformados. Embora isoladamente pareçam ter pouca importância, com o tempo, têm um enorme impacto na saúde, na produtividade, na estabilidade financeira e na felicidade.

Com base na leitura de centenas de artigos acadêmicos, entrevistas com mais de trezentos cientistas e executivos, além de pesquisas realizadas em dezenas de empresas, o repórter investigativo do New York Times Charles Duhigg elabora, em O poder do hábito, um argumento animador: a chave para se exercitar regularmente, perder peso, educar bem os filhos, se tornar uma pessoa mais produtiva, criar empresas revolucionárias e ter sucesso é entender como os hábitos funcionam. Transformá-los pode gerar bilhões e significar a diferença entre fracasso e sucesso, vida e morte.

Duhigg conclui por que algumas pessoas e empresas têm tanta dificuldade em mudar, enquanto outras o fazem da noite para o dia. Descobre, por exemplo, como hábitos corretos foram cruciais para o sucesso do nadador Michael Phelps, do diretor executivo da Starbucks, Howard Schultz, e do herói dos direitos civis, Martin Luther King, Jr.: “Eles tiveram êxito transformando hábitos. Todos começam com um padrão psicológico. Primeiro, há uma sugestão, ou gatilho, que diz ao seu cérebro para entrar em modo automático e desdobrar um comportamento. Depois, há a rotina, que é o comportamento em si. Para alterar um hábito, é preciso modificar os padrões que moldam cada aspecto de nossas vidas. Entendendo isso, você ganha a liberdade – e a responsabilidade – para começar a trabalhar e refazê-los”, diz o autor.

Um dos exemplos citados pelo autor diz respeito a ele próprio. Duhigg explica como conseguiu parar de consumir cookies no meio do dia de trabalho ao compreender o hábito que o levava diariamente a uma cafeteria para comê-los, mesmo sem fome – as visitas diárias ao lugar ocorriam por necessidade de socialização. “Refiz o hábito e,  agora, pelas 15h30, levanto da minha mesa e procuro alguém para conversar por 10 minutos. E não como um cookie há seis meses”, conta ele. A prática é um dos segredos para a mudança: “Tarefas que parecem incrivelmente complexas no início, como aprender a tocar violão e falar uma língua estrangeira, podem se tornar muito mais fáceis depois de executadas inúmeras vezes. Maus hábitos, como fumar e beber demais, são superados quando aprendemos novas rotinas e a praticamos incessantemente.”

Há ainda, segundo Duhigg, os chamados “hábitos mestres”, capazes de desencadear uma série de reações no modo da pessoa organizar sua própria vida. Um bom exemplo de um hábito mestre é o exercício físico. “Quando as pessoas começam a se exercitar regularmente, começam a mudar outros comportamentos que não estão relacionados à atividade física. Passam a comer melhor e a levantar da cama mais cedo. Fumam menos e se tornam mais pacientes. (…) Não está completamente claro porque isso ocorre, mas está provado que exercício é um hábito mestre, que propaga mudanças em todos os aspectos da vida.”

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Minhas impressões sobre o livro “Race Against the Machine”: como relacionar a Lei de Moore e o tabuleiro de Xadrez

Acabei de ler o livro “Race Against the Machine” (2011) de Erik Brynjolfsson e Andrew McAfee que analisa as conseqüências do desenvolvimento tecnológico sobre a economia e a sociedade. Os autores são pesquisadores do MIT.

No capítulo 2 – “Humanity and Technology on the Second Half of Chessboard” os autores fazem um paralelo interessante entre a Lei de Moore e uma antiga história sobre a origem do jogo de Xadrez.

Gordon Moore foi um dos fundadores da empresa Intel, um dos maiores fabricantes de circuitos integrados do mundo e em 1965, escreveu um artigo “Cramming more components onto integrated circuits” em que concluía que a quantidade de transistores num circuito integrado de mínimo custo dobrava a cada ano. Isso significava que o poder de processamento dos computadores a cada ano dobrava pelo mesmo custo investido. Mais tarde, essa lei foi corrigida para dobrar a cada 18 meses e não um ano e se mantém válida nos dias de hoje. Não é propriamente uma lei no sentido matemático, mas evidencia um fato que se mantém desde a década de 60.

Do jogo de xadrez, muitos já conhecem essa versão da história onde um imperador muito satisfeito com o novo jogo quer recompensar o inventor e permite que escolha o seu prêmio. O inventor prefere receber uma quantidade de grãos de arroz cujo valor total seria a soma de 64 parcelas determinadas em função das posições das casas do tabuleiro de xadrez, assim distribuídas: 1 grão na primeira casa; na segunda casa, o dobro de grãos da primeira; na terceira casa, novamente, o dobro de grãos da segunda casa, e assim sucessivamente. Não é difícil de perceber que a soma dessa sequência de quantidade de grãos,

1+2+4+ 8+ …+ 263

é a soma de uma PG (Progressão Geométrica) de razão 2 e cujo valor total será

264 – 1

O imperador julgou que era uma proposta razoável e aceitou essa forma de premiação, sem se dar conta que essa quantidade de grãos de arroz, 264 – 1, seria o resultado de toda a colheita de arroz somada de muitas gerações!!!

O que o livro acrescenta de novidade é que até a metade do tabuleiro, isto é, até 32a casa, a quantidade de grãos é realmente razoável, aproximadamente 4 bilhões de grãos que seria o equivalente a colheita de um grande terreno. Passando a metade do tabuleiro, os valores crescem exponencialmente e gerando valores absurdos.

Até aí eu ainda não tinha associado direito qual era a relação entre a Lei de Moore e o tabuleiro de xadrez. Como Lei de Moore demonstra a evolução do poder de processamento dos computadores dobrando a cada 18 meses, os autores queriam demonstrar também que esse potencial das máquinas, já está na segunda metade do tabuleiro de xadrez e que a sociedade e a economia de modo geral estão sentindo os efeitos desse fenômeno.

Eles partiram do ano de 1958 quando o “U.S. Bureau of Economy Analysis” incluiu uma nova categoria de investimentos chamando de “Information Technology”, tornando a tecnologia da informação um fundamento econômico importante para as empresas e instituições. Considerando, portanto, 1958 como o início desse processo de evolução das máquinas e considerando que a cada 1,5 anos ou 18 meses seu poder de processamento dobra, então em 2006, as máquinas eram 232 mais poderosas do que aquelas de 1958!

A partir de então, pode-se esperar que a tecnologia criarão máquinas ou sistemas que vão substituir o homem em muitas tarefas consideradas “humanas”, como, por exemplo, os atendentes de call centers. Em atividades industriais já sabemos que a automação e o uso de robôs estão cada vez mais sendo utilizados e substituindo o ser humano no processo.

Dessa forma, as crises econômicas mundiais que estamos vivenciando nos últimos anos, são reflexos desse processo de desenvolvimento tecnológico de mais de 50 anos. A tecnologia vai ajudar a produzir uma quantidade de produtos cada vez maior e mais baratos. A conseqüência disso, é que o número de vagas de trabalho não vão aumentar na mesma proporção.

Como resolver esse problema? O livro indica várias formas de contornar esse problema, mas a mensagem principal que ela traz é que não se deve concorrer com as máquinas e sim sabê-las utilizar cada vez melhor. Segue-se ai o discurso da inovação como uma forma elegante de sair da crise. A geração de novas máquinas, novos serviços etc. Os exemplos estão aí: Facebook, Google, Skype, entre outros que se utilizam da tecnologia para gerar serviços que são gratuitos e que, por isso mesmo, agregam uma quantidade enorme de pessoas, formando uma rede social. Do ponto de vista de mercado, é uma forma inteligente de agregar potenciais clientes num único lugar, gerando riqueza a partir daí. Isso é inovação !! Quem pensaria num negócio que fornece serviços gratuitos poderia gerar riqueza há 100 anos?

Tem outras medidas que os autores citam no livro, alguns deles entendo como quebra de tabus, como a extinção da estabilidade nos empregos (o livro cita, como exmplo, a classe dos professores). No fundo, seguem a lógica neoliberal de premiar a meritocracia e liberdade nos negócios.

Há severas críticas ao sistema educacional americano no que se refere a forma como as aulas são dadas pelos professores que não utilizam a tecnologia. Isso é justificado pelo que já disse antes, não adianta concorrer com a tecnologia, precisamos é saber usá-la cada vez mais e melhor.

Em muitos pontos eu concordo com os autores, mas em vários momentos, dá impressão  nítida que a educação só serve para garantir uma mão de obra qualificada que ajudem as empresas e instituições a manter seu status quo.

Esse texto não teve como objetivo ser uma resenha crítica ao livro, quis apenas focar a relação que os autores fizeram com a Lei de Moore e o tabuleiro de xadrez do ponto de vista matemático e relacioná-las com o atual situação econômica e social que vivemos.

Para os interessados em ler o livro, ele pode ser adquirido na versão eletrônica no site da Amazon no Brasil (www.amazon.com.br) e custa a bagatela de R$ 8,32 (20/12/2012) !!! Apesar de ser no formato para o Kindle (Leitor eletrônico da Amazon), pode ser lido em outros leitores eletrônicos, computadores, Smartphones etc, via programas que podem ser baixados gratuitamente no site da Amazon.

Por enquanto, não tenho notícia de alguma tradução para o português.

É isso ! Abraços a todos !

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Diário de Bordo-MH1M3 / 21-Jun: Aula 15 – A Matemática na Europa até o Renascimento / A Matemática do Renascimento ao Século XVII

A aula de hoje começa com a exibição de um vídeo documentário chamado “Arte & Magia” produzido pela TV Cultura. Esse documentário é dividido em vários capítulos, aquele que assistimos corresponde ao capítulo 6 que fala sobre o Número de Ouro. Clique no vídeo abaixo para assisti-lo:

Esse vídeo aborda muitos aspectos históricos sobre o número de ouro, também conhecido como a razão áurea e cujo valor vale φ = 1.618033…. Esse é um daqueles números notáveis que aparece na natureza e é interessante também porque está relacionado com a beleza estética e os artistas a utilizam muito quando produzem suas obras.

O vídeo também mostra que relação entre o número de ouro e a sequância de Fibonacci, o mais talentoso matemático da Europa na Idade Média e que levou os números indo –arábicos para a Europa. Ele é famoso por essa sequência que foi determinada a partir de suas experiências para descobrir como o número de casais de coelhos crescem a partir de um único casal. Quer saber qual é a relação entre o número de ouro e a sequência de Fibonacci, então, convido a assistir ao vídeo.

Retomando a aula sobre “A Matemática na Europa até o Renascimento”.

Matemática no Século XIV

O Século XIV é quando a Peste Negra assola a Europa, matando mais de um terço da sua população. Também nesse século acontece a maior parte da Guerra dos 100 anos (1337-1453) que provocou grandes mudanças políticas e econômicas no norte da Europa. Esses dois eventos, talvez, expliquem porque a Matemática pouco se desenvolveu nessa época e os principais matemáticos são:

  • Nicole Oresme (1323-1382) – Normandia
    • foi o maior matemático do século XIV.
    • sua carreira foi do magistério ao bispado.
    • escreveu 5 trabalhos matemáticos e traduziu Aristóteles.
    • num dos seus opúsculos encontra-se o 1º uso conhecido de expoentes fracionários
    • antecipando a Geometria Analítica, localiza pontos através de coordenadas.
    • influenciou matemáticos renascentistas e Descartes
    • precursor do calculo infinitesimal obtendo a soma da série:

SomaDeFracoes

  • Thomas Bradwardine (1290-1349)
    • foi o arcebisp de Canterbury
    • fez especualações sobre os conceitos básicos de contínuo e discreto, infinitamente grande e infinitamente pequeno
    • escreveu 4 opúsculos sobre aritmética e geometria.

O Século XV

Marca o início do Renascimento Europeu na arte e no saber. Os clássicos gregos entram no Ocidente a partir dos refugiados da Queda de Constantinopla (1453) para a Itália. Assim , os europeus passam a ter os originais dos clássicos e não somente as traduções.

Outro evento que marca esse século foi a invenção da imprensa de tipos móveis e o início da comercialização de livros que contribuem para a rápida disseminação do conhecimento. No final do século, a América será descoberta e logo os europeus fariam a circunavegação na Terra.

A atividade matemática concentram-se nas cidades italianas e nas cidades de Nuremberg, Viena e Praga e girou em torno da aritmética, álgebra e trigonometria. Estes são os principais matematicos do século XV:

  • Nicholas Cusa (1401-1464) – nascido em Cuers, junto ao Rio Mosela
    • filho de pescador que chega a cardeal e governador de Roma (1448)
    • fez trabalhos na reforma do calendário
    • fez tentativas de quadrar o círculo e trissecionar o ângulo.
  • Greg von Peurbach (1423-1463) – aluno de Nicholas Cusa
    • escreveu uma aritmética, alguns trabalhos de astronomia e corrigu uma tábua de senos.
    • iniciou uma tradução latina do Almagesto de Ptolomeu
  • Johann Müller (1436-1476)– nasceu em Könisgsburg (“montanha do rei”)
    • conhecido com Regiomontanus.
    • terminou a tradução do Almagesto, iniciado por Peurbach.
    • traduziu do grego para o latim, trabalhos de Apolônio, Herão e Arquimedes.
    • Sua mais importantes obra – “De triangulis ommi modis” (1464), publicado em 1533: 1ª exposição européia sistemática da trigonometria plana e esférica, independente da Astronomia.
  • Nicholas Chucket (1445-1488)– França
    • o mais brilhante matemático francês  do século XV.
    • dedicou-se a medicina em Lyon.
    • em 1484, escreveu uma aritmética – “Triparty em la science des nombres” e, publicada apenas no século XIX.
    • divide-se em 3 partes: cálculo com números racionais, cálculo com números irracionais e teoria das equações.
    • admitia expoentes inteiros, positivos e negativos e parte da álgebra era sincopada.
    • seu trabalho era demasidamente avançado para época.
  • Lucca Paccioli (1445-1509)– de Sansepulcro na Itália
    • escreveu “Sümma” – Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita.
    • pretendia ser um sumário da aritmética, álgebra e da geometria da época.
    • Semelhante ao Liber Abaci, mas com uma notação superior.

A obra Sümma

  • tem algoritmos para operações fundamentais e a extração da raiz quadrada.
  • aritmética mercantil com vários problemas.
  • aplicação da Regra da Falsa Posição.
  • na àlgebra chega até as equações quadráticas.
  • álgebra sincopada
  • pouco interesse em geometria e usa álgebra na resolução de problemas geométricos
  • devido a importância da álgebra teve um crescimento intenso na Itália
  • em 1509, Paccioli publicou “De Divina proportione”  com ilustrações de Leonardo da Vinci que o fez no período em que recebeu lições de matemática de Paccioli.

O Método da Falsa Posição

  • método empregado para resolver equações lineares a partir de uma estimativa – “chute inicial
  • inicialmente, escolhe-se um valor arbitrário para a incógnita x “(chamada de “aha”)
  • a expressão calculada à esquerda com o valor de x, é comparado com o valor do lado direito.
  • calculava-se um fator de correção para obter o valor correto para x, satisfazendo a expressão original.

A Matemática do Renascimento ao Século XVII: as aritméticas, o simbolismo algébrico, Tartaglia, Cardano e Viète, Dürer e Copérnico.

Estamos abrindo uma nova fase da História da matemática que vai do Renascimento ao Século XVII. Com o Renascimento há um crescente interesse pela Educação e a atividade comercial. Como imprensa do tipo móvel já havia sido inventada, aparecem muitos textos populares de aritmética. Antes do século XVII, já haviam mais de três centenas desses livros impressos na Europa. Haviam dois tipos de obras:

  • escritas por intelectuais de formação clássica, em latim;
  • escritas em vernáculos por professores práticos interessados em formar jovens para o comércio.

Aritmética de Treviso

  • publicada em 1478 na cidade de Treviso, próxima a Veneza;
  • primeiro livro de matemática impresso no mundo ocidental;
  • aritmética amplamente comercial para explicar a escrita de números e efetuar cálculos, contendo aplicações envolvendo sociedades e escambo.
  • inclue também questões recreativas

Outras Aritméticas

  • 1484: escrita por Piero Borghi (17 edições);
  • 1491: publicada por Filippo Calandri em Florença. Contém o 1º exemplo do processo de divisão e os primeiros problemas ilustrados.
  • 1494: Sümma de Pacioli
  • 1489: Aritmética de Widman (Leipzig na Alemanha)
  • 1514: publicada por Jacob Köbel (1470-1533), 22 edições
  • Adam Riese (1489-1559)
    • 1522: publica a mais influente das Aritméticas comercias alemães. A expressão “nach Adam Riese” significa cálculo correto.
  • Cuthbert Tonstall (1474-1559)
    • 1552: publicou na Inglaterra o 1º trabalho dedicado inteiramente à Matemática;
    • foi baseado na Sümma de Pacioli e escrita em latim;
    • ocupou postos eclesiásticos e diplomáticos;
    • a 1ª edição impressa dos Elementos de Euclides (1533) escrita em grego é dedicado a Tonstall.
  • Robert Recorde (1510-1558)– Inglaterra
    • o mais influente autor inglês de textos escolares do século XVI;
    • escrevia em inglês e tinham forma de diálogos entre um mestre e um estudante;
    • deixou 5 livros. O 1º era uma Aritmética (“The Ground of Arts” – 1542) com pelo menos 29 tiragens;
    • deu aulas de matemática em Oxford e Cambridge e foi médico de Eduardo VI e da rainha Maria;
    • passou os últimos dias numa prisão na Irlanda devido a uma contravenção;
    • escreveu um texto de Astronomia –  The Castle of Knowledge (1551) apresentando o sistema de Copérnico aos ingleses;
    • o texto de geometria – The Pathwaie to Knowledge (1551) é uma condensação dos Elementos.

Início do Simbolismo Algébrico

  • Robert Record escreveu – The Whetstone of Witte (1557) e utiliza pela primeira vez o simbolo de igualdade “=”;
  • Christoff Rudolff (1525) introduziu o símbolo de radical √ no livro de álgebra “Die Coss”.
    • Michael Stifel (1486-1567) – Alemanha
        • maior algebrista alemão do século XVI;
        • era um monge, mas converteu-se reformador por Martinho Lutero;
        • 1544: obra mais conhecida “Arithmetica Integra”, dividida em 3 partes: números racionais, números irracionais e álgebra.
        • 1ª parte: salienta a vantagem de relacionar um PA a uma PG, antecipando os logarítmos;
        • 2ª parte: versão algébrica do livro X de Euclides;
        • 3ª parte: trata de equações, as raízes negativas são descartadas e usa os sinais “+” , “-” e √; representa incognitas por letras;
        • profetizou o fim do mundo para 3 de outubro de 1533, mas como não aconteceu teve de refugiar-se numa prisão para se salvar da população indignada.

Interpretações do Número 666

  • Michael Stifel, provou por artmografia que o Papa Leão X seria a ‘besta” do apocalipse
  • Napier prova que  o número 666 representa o Papa de Roma
  • O Jesuíta Bongus conclui que 666 era Martinho Lutero
  • Na 1ª Guerra Mundial, o 666 foi associado ao Cáiser Guilherme e, posteriormente, a Hitler.
  • César Nero era traduzido em aramaico (língua em que foi escrito o Apocalipse) pelo número 666.

Equações Cúbicas e Quárticas

  • descoberta a solução algébrica das equações cúbica e quártica por matemáticos italianos no século XVI
  • 1515: Scipione del Ferro (1465-1526), professor de matemática da Universidade de Bolonha, resolve algebricamente a equação x3 + mx = n. Não chegou a publicar o resultado, mas revelou o segredo ao seu discípulo Antonio Fior
  • 1535: Nicolo Fontana de Brescia (Tartaglia) anuncia ter descoberto a solução algébrica da equação cúbica: x3 + px2 = n.
  • Cardano consegue descobrir a chave da solução de Tartaglia e a publica em 1545 na sua obra “Ars Magna”. Ocorre então uma polêmica entre Cardano e Tartaglia.
  • Em “Ars Magna”, Cardano também publica a solução algébrica da equação quártia geral.
  • François Viete (Século XVI) e Descartes (1637)
  • Euler (1750) e Lagrange (1780) falham ao tentar resolver a equação quíntica geral
  • Niels Henrik Abel (1802-1829) prova que as equações gerais de grau 5 ou maior, não podem ser expressas por meio de radicais em termos dos coeficientes.
  • 1858: Charles Hermit (1822-1901) deu uma solução para a equação quíntica por meio de funções elípticas.
  • Girolamo Cardano (1501-1557) – nasce em Pávia
    • Filho ilegítimo de um jurista e com personalidade contraditória e arrebatada. Era médico e matemático
    • Preso, acusado de heresia, ao publicar o horóscopo de Cristo. Foi astrólogo do Papa, recebendo uma pensão por isso.
    • Morreu para contrariar uma previsão astrológica sobre a data de sua morte.
    • Escreveu sobre matemática, astronomia, física, medicina, etc. Escreve também um manual do jogador com questões interessantes sobre probabilidades.
    • Livro mais importante: “Ars Magna” em latim e dedicado exclusivamente à Álgebra
    • trabalha com raízes negativas e faz cálculo com números imaginários e tinha conhecimento das regras de sinais de Descartes
    • Cria um método para obter aproximadamente a raíz de uma equação de grau genérico
  • Nicolo Fontana de Bréscia (Tartaglia) – (1499-1557) – nascido em Bréscia
    • Filhos de pais pobres e viu sua cidade natal ser tomada pelos franceses (1512) e, embora, ferido, sobreviveu. Ficou com um problema na fala que lhe valeu a alcunha de “o gago”, em italiano “Tartaglia”. Praticamente, foi um autodidata em Matemática.
    • descobriu soluções para equações cúbicas.
    • foi o 1º matemático a usar a matemática na ciência dos tiros de artilharia.
    • escreveu a melhor aritmética do século XVI (em dois volumes) e publicou edições de Euclides e Arquimedes.
  • Françoise Viète (1540-1603) – Fontenay (França)
    • advogado e membro do parlamento provincial da Bretanha, dedica-se a maior parte do tempo à matemática.
    • dedica-se a criptografia e na Guerra contra a Espanha, quebra o código secreto espanhol.
    • trabalhou com trigonometria, álgebra e geometria.
    • 1579: publica “Canon mathematicus seu ad triangula” com contribuições na trigonometria. 1º livro na Europa ocidental a desenvolver métodos de resolução de triângulos planos e esféricos com o auxílio das 6 funções trigonométricas.
    • 1591: publica “In artem analytican isagoge” e promove o desenvolvimento do simbolismo algébrico. Introduz o uso das vogais para designar incógnitas e consoantes para as constantes.

Obs.: o costume de usar a últimas letras do alfabeto para incógnitas e as primeiras para constantes foi introduzido por Descartes (1637).

    • introduz potências das variáveis, evitando símbolos diferentes: a2, em vez de quadratum e a3 em vez de cubum.
    • 1600: escreve “De numerosa potestatum resolution” que introduz o processo de aproximações sucessivas para determinar a raíz de uma equação. Embora trabalhoso, foi utilizado até por volta de 1680
    • 1594: entra em uma polêmica com o astrônomo Clavius na discussão sobre a reforma do calendário promovida pelo Papa Gregório.
  • Christopher Clavius (1537-1612) – Banberg (Alemanha)
    • escreveu textos de aritmética (1583) e álgebra (1608)
    • 1574: publica uma edição dos Elementos de Euclides
    • trabalhou com trigonometria e astronomia e na reforma do calendário.
  • Simon Stevin (1548 – 1620)
    • na matemática fez contribuições sobre a teoria das frações decimais
    • na física fez contribuições à estática e a hidrostática
    • na engenharia militar, inventou um veículo movido a velas, capaz de transportar 28 pessoas ao longo de uma praia, mais rápido que o cavalo.
  • Nicolau Copérnico (1473-1543) – Polônia
    • um dos astrônomos que mais impulsionou a matemática
    • estudou leis, medicina e astronomia
    • sua Teoria do Universo (1530) só foi publicado em 1543 quando morre com a ajuda e insistência do seu discípulo Joachin Rhaeticus.
    • devido ao seu trabalho, fez desenvolvimentos em trigonometria e escreveu um tratado sobre a matéria.
  • Georg Joachim Rhaeticus (1514-1576)
    • discípulo de Copérnico e principal astrônomo matemático teutônico do século XVI
    • Construiu tábuas trigonométricas em uso até hoje
    • foi  o 1º a definir as funções trigonétricas com razões entre lados de um triângulo retângulo

Aqui encerramos o programa da disciplina e as próximas aulas serão destinadas às avaliações.

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Diário de Bordo-MH1M3 / 14-Jun: Aula 14 – A Matemática na Europa até o Renascimento

Antes de retomar o assunto sobre a Matemática na Europa até o Renascimento, a Profa. Bete apresentou a idéia de Sofisma Geométrica, a partir de um texto sobre o matemático Fibonacci. No dicionário Houaiss, Sofisma no sentido da lógica é: “argumento ou raciocínio concebido com o objetivo de produzir a ilusão da verdade, que, embora simule um acordo com as regras da lógica, apresenta, na realidade, uma estrutura interna inconsistente, incorreta e deliberadamente enganosa.”

O texto apresenta dois exemplos de sofismas geométricos. No primeiro temos a seguinte figura :

SofismaGeometrico_1

Figura 1: Exemplo 1 de Sofisma Geométrico

O quadrado à esquerda foi dividido em quatro regiões formadas por dois trapézios e dois triângulos. As medidas dos lados estão anotadas na figura. O retângulo da direita foi obtido rearranjando os trapézios e triângulos do quadrado original. Calcule a área do quadrado e depois calcule a área do retângulo.

Surpresa !!! Não são iguais ! Por quê ?

O segundo exemplo temos:

SofismaGeometrico_2

Figura 2: Exemplo 2 de Sofisma Geométrico

O triângulo acima é formado de quatro triângulos retângulos, quatro retângulos e um “buraco” com uma unidade de lado, bem no meio da figura.

Some as áreas de todos os triângulos e retângulos, sem o buraco. Calcule a área do triângulo ΔABC, tomando a metade do produto da base pela altura. Compare as duas áreas calculadas. Você deverá ter notado que o valor é o mesmo, mas como é possível? Se a área calculada pela área do triângulo maior que inclue o “buraco”, deveria ser uma unidade de área maior. Por quê isso não acontece?

Deixemos a dúvida no ar. Qualquer pergunta ou sugestão, envie um comentário no final do texto.

Retomando o assunto da aula passada – “A Matemática na Europa até o Renascimento”. Havíamos parado no período conhecido como o Período da Transmissão ou Século das Traduções.

Retomamos falando dos principais matemáticos da época:

  • Adelardo de Bath (1080-1152) – Inglaterra
    • foi um dos primeiros tradutores e esteve na Espanha entre 1126 a 1129 e também na Grécia, Síria e Egito.
    • Fez traduções latinas do Elementos de Euclides e das tábuas astronômicas de Al-Khowârizmî.]
    • Disfarçou-se de estudante árabe para adquirir o conhecimento árabe.
  • Savasorda (1070-1136) – judeu nascido em Barcelona
    • Escreveu o livro “Geometria Prática” escrito em hebreu e traduzido para o latim por Platão de Tivoli.
    • Através do livro, o Ocidente conhece a solução da equação quadrática.

A Ilha de Sicília

Ponto de encontro do Oriente com o Ocidente. Inicialmente, colônia grega, depois romana. Com a queda de Roma, liga-se com Constantinopla e ficou nas mãos dos árabes por quase 50 anos, somente recapturada pelos gregos no século IX, passando o controle aos normandos.

Dessa história, a ilha de Sicília tem em comum as línguas grega, árabe e latina. Com isso, muitos diplomatas viajavam para Constantinopla e Bagdá, trazendo e traduzindo para o latim muitos manuscritos gregos e árabes.

No período da Transmissão também corresponde ao período da disseminação dos numerais indo-arábicos pela Europa. Mercadores italianos em contato com a civilização oriental conhecem a aritmética e álgebra que são úteis no comércio e tem um papel importante na disseminação dos numerais indo-arábicos. A Espanha torna-se um importante elo de ligação entre o islamismo e o mundo cristão.

Rotas de transmissão do saber grego e do saber hindu antigos para a Europa Ocidental.

RotasDoSaberGregoEHIndu

Note que a figura posiciona as regiões aproximadamente como estão distribuídas no mapa real e mostra como o saber grego e hindu se dissemina através das relações comerciais ao longo do tempo.

Através de intenso comércio vai surgir Leonardo Fibonacci, o matemático mais talentoso da Idade Média.

Leonardo Fibonacci (1175 – 1250) – nascido em Pisa e filho de Bonaccio (daí o seu nome – “Fibonacci”)

  • Pisa era um grande centro comercial.
  • parte de sua educação se deu em Benjaia, norte da África.
  • por influência do pai se interessa pela aritmética
  • em função de viagens ao Egito, Sícilia, Grécia e Síria, conhece os procedimentos matemáticos orientais e árabes e reconhece a superioridade sobre a matemática tratada na Europa.

  • em 1202, escreve “Liber Abaci” seu famoso livros sobre os métodos indo-arábicos. Interessante saber a sentença de abertura do Liber Abaci é descrita assim:

“Estes são os nove algarismos indianos: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Com esses nove algarismos, e com o sinal 0, que os árabes chamam de zephirum, pode-se escrever qualquer número,  como se demonstrará a seguir.”

Encerramos a aula aqui. Na próxima finalizaremos a “A Matemática na Europa até o Renascimento”.

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Diário de Bordo-MH1M3 / 31-Mai: Aula 13 – A Matemática na Europa até o Renascimento

Antes de dar início a aula e a continuação sobre a história da Matemática na Europa, a Profa. Bete apresentou e discutiu um artigo publicado na Revista Cálculo, publicado pela Editora Segmento cujo título é: Se a humanidade sumir, a matemática também some?”, onde se discute se a Matemática foi criada pelo homem ou foi descoberta? Segue abaixo o meu ponto de vista:

“O artigo tenta responder a seguinte pergunta : a matemática é criada pelo homem ou, simplesmente, é descoberta? Vamos supor que o homem criou a Matemática. Portanto, podemos acreditar com base nessa hipótese que o homem criou os números. Um número extraordinário na Matemática é o número “e”, conhecido também como o número de Neper ou número de Euler. Sabe-se da Matemática que conhecemos que ele é o valor do seguinte limite:  

Se o homem criou o número de Euler, como explicar o aparecimento desse mesmo número na biologia, na física, na engenharia, na economia e outras áreas do conhecimento? Será coincidência? Se for, como explicar que o número π, citado no artigo, também tem características semelhantes ao número de Euler e surge em várias outras situações? Uma dupla coincidência? A própria Matemática, através da Estatística, deve mostrar que isso não é coincidência. Portanto, acredito que o homem se utiliza da linguagem matemática para descobrir as relações entre as entidades que compõem a natureza e a vida.
Penso como Roger Penrose, quando afirma que existem três mundos diferentes: o mundo captado pelos sentidos humanos, o mundo físico captado por instrumentos de medição e o mundo das coisas matemáticas. Quando sentimos algo, tentamos medir sua intensidade. Quando descobrimos quais são as entidades ou objetos que fazem variar o que sentimos e medimos, podemos estabelecer relações entre elas que são descritas pela matemática. A partir daí verificamos propriedades e leis que demonstram como um fenômeno funciona.
Talvez, o maior problema da matemática seja descrever estes objetos básicos e primitivos que fazem parte do problema que estamos estudando. É o ponto de partida. É o que se denomina, axiomas. Estes pressupostos são importantes porque são assumidos como verdades. A partir deles, todo o resto é deduzido. Prova-se um Teorema partindo-se de hipóteses verdadeiras e raciocínio dedutível corretos. Uma vez provado, o Teorema é considerado como verdadeiro.
Mas, como ter certeza de que os axiomas são verdadeiros, isto é, como provar que um determinado axioma não pode ser deduzido de outros axiomas mais elementares? O questionamento do Axioma 5 de Euclides sobre a unicidade da reta paralela a outra passando por um ponto fora da reta, levou o surgimento da Geometria Não-Euclidiana. Portanto, é possível que os axiomas considerados como verdadeiros, podem deixar de sê-los se algumas restrições forem alteradas.
Estes questionamentos levam a novas descobertas e a novas teorias com novos axiomas, demonstrando que a Ciência não se desenvolve apenas produzindo novos conhecimentos a partir de coisas conhecidas, mas evolue também quando faz uma auto-crítica de si mesmo, levando-se a questionar seus princípios norteadores, como se quisesse descobrir novos caminhos por onde somente se via escuridão.

Continuando o assunto: “A Matemática na Europa até o Renascimento”

As invasões Bárbaras.

O termo bárbaro vem dos gregos e significa “estrangeiro” e foi usada pelos romanos para designar os povos que não partilhavam dos mesmos costumes e cultura romana. Dá-se o nome de invasões bárbaras à série de migrações de vários povos que ocorreu entre os anos 300 a 900 a partir da Europa Central. No início não houve uma invasão no sentido de combates violentos, mas foi um processo lento e gradual.

Estes povos viviam nas regiões próximas às fronteiras romanas e devido a acordos entre o Império Romano e estes povos ganhavam o direito de habitar estas regiões. Em troca, tinham a missão de proteger as fronteiras de invasões de outros povos. No século IV e V, com a pressão dos tártaros-mongóis (hunos) intensifica o processo de invasão do Império Romano. Em 476 o império chega ao fim e inicia-se na Europa a Idade Média. O oeste dividiu-se em duas áreas culturais distintas: o mundo árabe-iraniano e a Europa. A Europa divide-se duas partições: ocidente germânico-latino e oriente grego-eslávico. Com isso ocorre um deslocamento do centro político e cultural, antes centrada em Grécia e Roma, para a França, Inglaterra, Países Baixos, Alemanha, Escandinávia, Polônia e Rússia. Com toda essa divisão, os grandes impérios deram lugar aos baronatos feudais. Serão os bárbaros germanos e eslavos que estabelecerão os feudalismo no século V.

Os escravos e pequenos proprietários se converteram em servos, os intelectuais e inventores pela ciência pura e matemática e passaram a se interessar em engenharia e religião. A Igreja Católica torna-se poderosa e influente na sociedade feudal e em 520 é fechada a Academia de Atenas.

Sociedade Feudal

Era formada por:

  • em sua maioria por camponeses pobres ou servos que cultivavam em terras dos seus Senhores, em troca de parte da colheita.
  • estes senhores eram vassalos de um Rei ou do Sacro Império Romano (união de alguns territórios da Europa Central durante o final da Idade Média e o início da Idade Moderna).
  • uma classe média urbana formada de mercadores e artesãos.

A religião era dominada pela Igreja Católica e a cidade de Roma era um reino independente e governado pelo Papa. A Igreja era proprietária de bens patrimoniais em toda a Europa Ocidental e os imperadores sacro-romanos eram coroados pelo Papa.

Educação na Idade Média

Devido ao poder da Igreja católica, os monastérios eram os únicos locais na Europa Ocidental onde se cultivava o saber. Isso significava que a Filosofia e a própria religião tinham a preferência porque a Ciência era um estudo incompatível com suas crenças. Dessa maneira, existiram muitos teólogos, mas poucos matemáticos ou cientistas.

Devido a necessidade de construir igrejas, o homem medieval praticava a engenharia, mas com pouco conhecimento formal e teórico. Portanto, a matemática dessa época tinha mais um interesse prático, além de ajudar a elaborar o calendário cristão. Poucos matemáticos na Baixa Idade Média merecem destaque nesse período. A Baixa Idade Média compreende o período entre a queda do Império Romando (século V) até o século XI.

  • Anício Mânlio Torquato Severino Boécio(Roma – 475-524)
    • escreveu livros de geometria e aritmética adotados nas escolas monásticas por séculos;
    • na geometria, resume-se a alguns enunciados e proposições dos Livros I, III e IV dos Elementos de Euclides e alguamas aplicações de mensurações;
    • fundador da escola monástica medieval;
    • por problemas políticos, é preso, condenado a morte cruel.
  • BedaVenerabilis (673-735) – Inglaterra
    • escreveu alguns trabalhos de matemática : tratado sobre o calendário e outro sobre a contagem com os dedos.
  • Santo AlcuínodeYork (785-804) – Inglaterra
    • convidado por Carlos Magno, desenvolve um projeto educacional.
    • provável autor de uma coleção de problemas em forma de quebra-cabeça e influenciou vários autores de textos escolares
  • Gerbert de Aurillac(950-1003) – França
    • em 999 foi eleito Papa Silvestre II.
    • estudou em escolas muçulmanas e há indícios que tenha introduzido na Europas os algarismos indo-arábicos (sem o zero).
    • construiu ábacos, globos terrestres e celestes, um relógio e, talvez, um órgão.
    • escreveu sobre astrologia, aritmética, geometria.

O Período de Transmissão

Vimos que Gerbert de Aurillac (futuro Papa Silvestre II) estudou em escolas muçulmanas. Será nessa época que os clássicos gregos de ciência e matemática penetram na Europa. Esse período é conhecido como o Período de Transmissão. As traduções desses clássicos eram frequentemente traduzidos do árabe para  o latim. Haviam também traduções do hebreu para o latim, árabe para o hebreu e grego para o latim.

Quando a cidade de Toledo foi retomada dos mouros em 1085 , muitos intelectuais foram para lá para adquirir o saber muçulmano. Do ponto de vista da história da matemática, esse período (século XII) seja conhecido com o século das traduções.

Aqui terminamos a aula, mas não o assunto. Na próxima aula continuamos.


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